Em uma indústria de bebidas, a água ultilizada no processo de...

Para resolver esse problema, precisamos determinar a quantidade de gelo necessária para resfriar a água de 65°C para 26°C. A abordagem envolve calcular o calor que precisa ser removido da água e, em seguida, determinar quanto gelo é necessário para absorver essa quantidade de calor.

Passo 1: Calcular o calor que precisa ser removido da água

A quantidade de calor Q1Q_1Q1​ que precisa ser removida da água para que ela passe de 65°C para 26°C é dada pela fórmula:

Q1=m1⋅caˊgua⋅ΔTQ_1 = m_1 \\cdot c_{\\text{água}} \\cdot \\Delta TQ1​=m1​⋅caˊgua​⋅ΔT

onde:

m1=3000 kg=3000000 gm_1 = 3000 \\, \\text{kg} = 3000000 \\, \\text{g}m1​=3000kg=3000000g (massa da água),

caˊgua=1 cal/g°Cc_{\\text{água}} = 1 \\, \\text{cal/g°C}caˊgua​=1cal/g°C (calor específico da água),

ΔT=(65−26) °C=39 °C\\Delta T = (65 - 26) \\, \\text{°C} = 39 \\, \\text{°C}ΔT=(65−26)°C=39°C.

Q1=3000000 g×1 cal/g°C×39 °C=117000000 calQ_1 = 3000000 \\, \\text{g} \\times 1 \\, \\text{cal/g°C} \\times 39 \\, \\text{°C} = 117000000 \\, \\text{cal}Q1​=3000000g×1cal/g°C×39°C=117000000cal

Passo 2: Calcular o calor absorvido pelo gelo para derreter

Antes que o gelo possa começar a esfriar a água, ele precisa derreter. A quantidade de calor Q2Q_2Q2​ necessária para derreter o gelo é dada pela fórmula:

Q2=m2⋅LfQ_2 = m_2 \\cdot L_fQ2​=m2​⋅Lf​

onde:

m2m_2m2​ é a massa do gelo,

Lf=79,5 cal/gL_f = 79,5 \\, \\text{cal/g}Lf​=79,5cal/g (calor latente de fusão da água).

Passo 3: Calcular o calor necessário para aquecer o gelo derretido de 0°C até 26°C

Depois que o gelo derreter, a água resultante precisa ser aquecida de 0°C a 26°C. A quantidade de calor Q3Q_3Q3​ necessária para isso é dada pela fórmula:

Q3=m2⋅caˊgua⋅ΔTQ_3 = m_2 \\cdot c_{\\text{água}} \\cdot \\Delta TQ3​=m2​⋅caˊgua​⋅ΔT

onde ΔT=26 °C\\Delta T = 26 \\, \\text{°C}ΔT=26°C.

Q3=m2⋅1 cal/g°C⋅26 °C=26 m2 calQ_3 = m_2 \\cdot 1 \\, \\text{cal/g°C} \\cdot 26 \\, \\text{°C} = 26 \\, m_2 \\, \\text{cal}Q3​=m2​⋅1cal/g°C⋅26°C=26m2​cal

Passo 4: Calcular o calor total absorvido pelo gelo

O calor total absorvido pelo gelo QtotalQ_{\\text{total}}Qtotal​ é a soma de Q2Q_2Q2​ e Q3Q_3Q3​:

Qtotal=m2⋅(Lf+26)Q_{\\text{total}} = m_2 \\cdot (L_f + 26)Qtotal​=m2​⋅(Lf​+26) Qtotal=m2⋅(79,5+26)=m2⋅105,5 cal/gQ_{\\text{total}} = m_2 \\cdot (79,5 + 26) = m_2 \\cdot 105,5 \\, \\text{cal/g}Qtotal​=m2​⋅(79,5+26)=m2​⋅105,5cal/g

Passo 5: Igualar o calor removido da água ao calor absorvido pelo gelo e resolver para m2m_2m2​

Q1=QtotalQ_1 = Q_{\\text{total}}Q1​=Qtotal​ 117000000 cal=m2⋅105,5 cal/g117000000 \\, \\text{cal} = m_2 \\cdot 105,5 \\, \\text{cal/g}117000000cal=m2​⋅105,5cal/g m2=117000000 cal105,5 cal/g≈1109507 g≈1109,5 kgm_2 = \\frac{117000000 \\, \\text{cal}}{105,5 \\, \\text{cal/g}} \\approx 1109507 \\, \\text{g} \\approx 1109,5 \\, \\text{kg}m2​=105,5cal/g117000000cal​≈1109507g≈1109,5kg

Resposta

Portanto, seria necessário aproximadamente 1109,5 kg de gelo a -20°C para reduzir a temperatura da água de 65°C para 26°C.